Данное соотношение иллюстрирует линейную природу общего закона теплообмена Ньютона-Рихмана:

q = α_г ∙ ( T_г ─ T_ст.г )

_______________

* - прим: точнее - температуры торможения газа Т_о  на внешней границе пограничного слоя

Для справки: температура торможения газового потока T_o теплоемкостью C_p и скоростью W в общем случае следует из закона сохранения энергии (процесс примерно адиабатический C_p ≈ const ) по следующей форме (где M – число Маха):

В то же время, формула (4.179) показывает, что конвективный тепловой поток также нелинейно зависит в малой степени от других факторов − относительной температуры стенки, вязкости, теплоемкости, молярной массы продуктов сгорания и т.д.

Опуская все малосущественные поправочные коэффициенты, один из факторов все же следует иметь в виду − относительной температуры стенки   T_ст.г  = T_ст.г  / T_г

Если искомый и модельный двигатели имеют примерно равную температуру стенки, то поправкой в малой степени T ^-0,26  можно пренебречь.

Как правило, это условие выполняется в большинстве случаев, обычно: T_ст.г  = 700...800К

Но если потребуется сравнивать конвективные тепловые потоки в камера ЖРД с резко отличающимися температурами стенки (например, бронзовую стенку T_ст.г  = 700К и стальную стенку T_ст.г  = 1100К), то, в таком случае, необходимо в общую формулу вставить поправочный коэффициент:

Кроме того, для учета реальных процессов в пограничном слое, вместо температуры торможения газа Т_о обычно вводится эффективная температура Т_е  которая немного меньше T_o  на величину потерь, определяемых коэффициентом восстановления температуры r:

Для турбулентного конвективного теплообмена r ≈ ³√Pr  ≈ 0,9 поэтому T_е немного меньше, чем T_o

Необходимо также иметь в виду, что поскольку процесс истечения газа в сопле сопровождается химическими реакциями в газе (происходит рекомбинация ранее диссоциированных продуктов горения), то по ходу движения газа T_е будет немного расти.

Если переписать формулу (3.19) в более удобном виде, то получим (индекс 1 относится к известным данным, 2 - к искомым):

Введем термодинамический потенциал S_o:

Тогда аппроксимация конвективного теплового потока для критического сечения в общем виде выглядит так:

На базе вышеуказанного полуэмпирического соотношения уже можно строить различные рабочие формулы для расчета тепловых потоков для конкретного ЖРД.

Рассмотрим метод пересчета на конкретных хорошо известных примерах.

Метод пересчета на базе РД-107

Одним из наиболее массовых советских ЖРД на керосине и кислороде является РД-107 ‒ двигатель первой ступени семейства ракет Р-7.

Камера РД-107 серийно выпускалась в пяти серийных (8Д74, 8Д74К, 8Д728, 11Д512, 14Д22) и множестве опытных модификаций, хорошо изучена и проверена на практике.

Нам достоверно известны^[26] следующие параметры одной из первых модификаций РД-107:

p_к ≈ 59,7кгс/см²; d_кр ≈ 165,8мм; Т_ст.г (0) ≈ 380°С; q_max ≈ 16,3 МВт/м²

Температуру пристеночного слоя будем определять по равновесным свойствам продуктов сгорания соответствующего состава.

В книге «Основы теории и расчета ЖРД» (под редакцией Кудрявцева, издание 1967г.) предлагается следующая модель: пристеночный слой формируется при безразмерном коэффициенте окислителя α ≈ 0,3 ÷ 0,4

Идея заключается в следующем. Пристеночный слой стремятся сделать как можно холоднее для облегчения охлаждения. Но сделать его слишком холодным для керосина не получается, поскольку при α ≤ 0,3 имеет место сильное выделение сажи (которая, будучи балластом, сильно ухудшает удельный импульс), а при α ≥ 0,4 слой будет неоправданно горячим, что усложнит задачу проточного охлаждения.

Нахождение точного состава газа в пристеночном слое не имеет практического смысла, ибо сам пристеночный слой не является однородным, он постоянно перемешивается с ядром потока, постепенно добавляя содержание окислителя в большую сторону.

Кроме того, в самом пристеночном слое следует выделить тонкий пограничный слой у стенки, где протекают химические реакции рекомбинации с выделением дополнительной теплоты, в результате чего как химический состав, так и термодинамические свойства пристеночного газа можно считать нестационарными.

Для решения задач расчета конвективного потока воспользуемся известным приемом: произведем подмену реального нестационарного газа на условный стационарный газ, совокупность свойств которого будет наиболее точно описывать реальную физическую картину.

Введем понятие эквивалентного пристеночного слоя. Это не значит, что в реальности состав газа именно таков.

Просто свойства реального пристеночного слоя будут эквивалентны нашему эффективному пристеночному слою.

Для него мы установим средний коэффициент α ≈ ½ (0,3 + 0,4) ≈ 0,35 или K_m ≈ 1,2

Добавлю, что для керосина эта точка знаковая - пограничная точка, ниже которой начинается сажа.

Компьютерные расчеты для РД-107 показывают, что при его параметрах и α ≈ 0,35 дает эффективную температуру пограничного слоя Т_е ≈ 1710±10К на дозвуковых и околозвуковых участках камеры W ≤ 1,3M с последующим ростом на сверхзвуковом участке сопла до Т_е ≈ 1800К

Существует альтернативная модель пристеночного слоя РД-107, показанная в «Атласе конструкций ЖРД. Описания. Часть 1» под общей редакцией профессора Г.Г. Гахуна, составленного преподавателями кафедры 203 МАИ в 1969г.^[35]

Двести третья кафедра МАИ рекомендовала считать такую модель пристеночного слоя для РД-107: α ≈ 0,37 или  K_m ≈ 1,25

При том, что разница между двумя моделями несущественная, о ней все же нужно сказать.

Компьютерные расчеты для РД-107 согласно модели МАИ при α ≈ 0,37 дают эффективную температуру пограничного слоя Т_е ≈ 1800±10К на дозвуковых и околозвуковых участках камеры W ≤ 1,7M с последующим ростом на сверхзвуковом участке сопла до Т_е ≈ 1860К

Соответственно, такой более горячий пристеночный слой дает более высокую максимальную температуру стенки: Т_{ст.г (max)} ≈ 400°С

И более высокий максимальный тепловой поток: q_max ≈ 14,6 млн. ккал/м²·ч или примерно 17 МВт/м²

Примерный график расчета охлаждения ЖРД РД-107 кафедры МАИ[35]

На самом деле, оба варианта правильные, ибо в процессе отработки камеры РД-107 изучались различные варианты конструкции как с большей, так и меньшей подачей керосина на периферийное кольцо из 60 пристеночных однокомпонентных керосиновых форсунок.

Можно предложить еще и третью модель пристеночного слоя − компромиссно-упрощенную.

Поскольку эффективная эффективная температура торможения Т_е зависит от конкуренции разнонаправленных факторов, которые могут как увеличивать ее (рекомбинация, перемешивание пристеночного слоя с ядром), так и уменьшать (рост числа Маха), но в целом остается в диапазоне Т_е ≈ 1750±50К, то зачастую в учебных расчетах предельно упрощают ситуацию и считают эффективную температуру газа в пристеночном слое постоянной по всей длине камеры Т_е = const.

При этом указанные модели (с фиксированной или переменной температурой Т^* пристеночного слоя), при корректном применении, дают примерно одинаковые результаты.

Теперь, чтобы приступить к практическим расчетам, остается последний штрих – мы должны «очистить» совокупный тепловой поток РД-107 от лучистой составляющей.

Хотя лучистая составляющая в критическом сечении мала – менее 10%, все же, для улучшения точности аппроксимации, ее следует исчислять отдельно.

Я не буду пересказывать всю методику расчета, для интересующихся рекомендую брошюру^[30] «Расчет лучистых тепловых потоков», под редакцией Курпатенкова В.Д., МАИ, 1989г., где все доступно и подробно изложено.

Телеграфно, всего несколькими словами, изложу суть вопроса.

Во-первых, использование эмпирических формул для котельного оборудования с показателями степеней, отличными от классической формулы Стефана-Больцмана, дает для ЖРД неверные результаты.

Во-вторых, определяющей температурой для лучистого потока в многослойном потоке газа (ядро, стенка, зоны перемешивания) следует считать условную температуру горения среднего по составу газа.

В-третьих, рост излучающей способности водяного пара имеет место лишь до значения плотности пара ρ ≈ 1кг/м³ что достигается при давлении в камере p_к≈5МПа. При дальнейшем росте давления лучистое излучение в основном определяется только температурой газа.

Тогда лучистый тепловой поток в камере оценим так:

Здесь С_o – постоянная излучения абсолютно черного тела, С_o ≈ 5,67Вт/м²К⁴

ε_ст – эффективная степень черноты стенки, для стенки с нагаром приближенно  ε_ст ≈ 0,9

ε_г – степень черноты продуктов сгорания, приближенно считается по формуле ε_г ≈ εН₂О + εСО₂ – εН₂О∙εСО₂

нахождение ε_г дело трудоемкое, но приближенно для кислородно-керосиновых ЖРД ε_г ≈ 0,4 ± 0,05 при этом верхний край соответствует советским ЖРД, где больше окислителя, значит – больше водяного пара, нижний край – американским ЖРД, где меньше окислителя, т.е. меньше содержание в продуктах сгорания водяного пара.

φ_сл – коэффициент поглощения в пристеночном слое, определяется эмпирически таким образом:

Мы выберем средний вариант φ_сл ≈ 0,7

И последнее: средний по составу газ в РД-107 при K_m ≈ 2,5 (α~0,73) будет иметь равновесную T_г ≈ 3600К

Согласно методике^[30] лучистый поток в критическом сечении равен половине потока в камере: Q_кр.л ≈ ½Q_л

В итоге для РД-107 в критическом сечении:

Теперь мы наконец-то можем «очистить» совокупный тепловой поток РД-107 от лучистой составляющей:

Q_к ≈ 16,3 – 1,2 ≈ 15,1 МВт/м²

Тогда термодинамический потенциал S_o (в технических единицах − диаметр в миллиметрах, давление в кгс/см², температуру в °К, тепловой поток в Вт/м²):

На основании полученных данных составим рабочую формулу для максимального конвективного теплового потока:

Давайте же проверим рабочую формулу на результатах расчетов кафедры МАИ тепловых потоков в камере РД-107 для пристеночного слоя K_m ≈ 1,25

С учетом лучистого теплового потока Q_л ≈ 1,2 МВт/м², получим оценку максимального теплового потока для модели РД-107 кафедры МАИ:

q_max = 15,9 + 1,2 = 17,1 МВт/м²

Ранее было показано на графике, что максимальный тепловой поток для РД-107 для пристеночного слоя K_m ≈ 1,25 составляет q_max ≈ 17 МВт/м²

Это означает, что наша рабочая формула и расчеты МАИ дают результаты с расхождением менее 1% !

Ну, а теперь небольшой фокус. В статье^[31] академика Б.И. Каторгина «Перспективы создания мощных жидкостных ракетных двигателей» (2004г.) ясно говорится, что в критическом сечении РД-170 тепловой поток порядка 50 МВт/м².  Проверим наш метод.

Вот примерные параметры для расчета лучистого теплового потока в РД-170: ε_г ≈ 0,4; ε_ст ≈ 0,9; T_г ≈ 3800К;

Отсюда получим искомый лучистый тепловой поток:

Рассмотрим схему жидкостного охлаждения камеры РД-170^[36]:

Далее, введем примерные параметры для расчета конвективного теплового потока в РД-170^[32]:  p_к ≈ 250ата; d_кр ≈ 235,5мм; Т_ст.г ≈ 773К;

Здесь необходимо сказать несколько слов о применении в камерах РД-170 теплозащитного покрытия и учете данного фактора для теплового расчета.

Камера РД-170 состоит из двух оболочек − бронзовой БрХ0,8 и стальной 12Х18Н10Т, которые сочленяются в сечении №23/24.

Максимальная температура бронзовой стенки в критическом сечении №15 достигает примерно 500°С или 773К.

Температура тонкого теплозащитного покрытия в критическом сечении несколько выше − примерно 830°С или 1100К.

При этом мы должны иметь в виду вот что. Различные теплозащитные покрытия (как с низкой теплопроводностью λ ≈ 1 Вт/м·К на основе диоксида циркония ZrO2 для РД-253, так и с высокой теплопроводностью λ ≈ 50 Вт/м·К на основе никель-хром для РД-120, РД-170 и т.п.) сами по себе не осуществляет функцию охлаждения чего бы то ни было. Они просто повышают тепловое сопротивление стенки^[14]:

С другой стороны, когда мы брали для расчетов в качестве модельного двигателя РД-107, то неявным образом учитывали, что камера РД-107 тоже имеет теплозащитное покрытие, только не искусственное, а естественное, и называется оно − нагар (сажа), с очень низкой теплопроводностью λ ≈ 0,07...0,1 Вт/м·К.

Этот эффект давно описан в специальной литературе^[20]:

Я ведь не зря допустил оговорку, вводя понятие эквивалентного пристеночного слоя. Повторюсь еще раз: это не значит, что в реальности состав газа именно таков. Просто свойства реального пристеночного слоя, в т.ч. с учетом естественного ТЗП (нагар) либо искусственного ТЗП (керамика), будут эквивалентны нашему эффективному пристеночному слою.

Когда выше мы описывали параметры такого эффективного слоя применительно к РД-107, то уже подразумевали учет влияния нагара на огневой стенке для теплообмена.

Понятно, что температура сажевого слоя была существенно выше тех номинальных 380...400°С огневой стенки для РД-107, которые брались для расчета.

Поскольку данный метод носит прикидочный характер для оценок с технической точностью, то мы позволим себе повторить все те же самые рассуждения и для РД-170.

Эквивалентный пристеночный слой K_m ≈ 1,2 для керосина РГ-1 дает приблизительно Т ^* ≈ 1820К

Считаем конвективный поток для РД-170:

Тогда общий максимальный тепловой поток для РД-170 составит:

Q_к + Q_л ≈ 47,5 + 1,5 ≈ 49 МВт/м²

В итоге мы пришли к интересному выводу: РД-107 и РД-170 – это начало и конец творческого пути В.П. Глушко, его альфа и омега.

Между этими двигателями более 30 лет дистанции  – это самый первый и самый последний советский серийный ЖРД на кислороде-керосине.

Разные технологии, другие способы формирования пристеночного слоя, другое устройство форсуночной головки и т.д.

Более того, даже соотношение окислителя и горючего – разное. Все разное.

И, тем не менее, оказывается, что экстраполяция данных РД-107 по нашей рабочей формуле дает вполне удовлетворительный результат!

Результаты экстраполяции при помощи рабочей формулы для некоторых ЖРД представлены в таблице:

* примечание:  указано эффективное давление в камере с учетом потерь полного давления

Температуры пристеночного слоя для Н-1 и F-1 указаны для более калорийного керосина RP-1 при K_m ≈ 1,2 и соответствующем давлении.

Поскольку расчет охлаждения F-1 показал несостоятельность его конструкции, оценка теплового потока для F-1 носит теоретический характер.

Данные в таблице в целом подтверждают правильность наших прикидочных расчетов тепловых потоков и температур для различных ЖРД.

Численный расчет сажи

Для разрешения всех противоречий, возникших в ходе прикидочных расчетов F-1, была построена компьютерная модель охлаждаемого участка камеры F-1 без соплового насадка и был проведен более точный численный тепловой расчет камеры данного двигателя (Приложение №2).

В процессе моделирования камеры F-1 нас ожидало весьма обескураживающее открытие: оказывается, обеспечить максимальную расходонапряженность 4070кг/с·м² при полном давлении на входе в сужение камеры P_о = 69,0кг/см² просто невозможно с точки зрения возможностей термодинамики!

Дело вот в чем. Есть такой параметр − расходонапряженность, равный отношению секундного расхода массы топлива к площади сечения камеры:

Поскольку, обычно, вдоль камеры и сопла расход массы топлива (продуктов сгорания) постоянен, то максимум расходонапряженности приходится на самое узкое − так называемое критическое сечение, где скорость течения газа равна местной скорости звука. Это сечение отделяет дозвуковую часть от сверхзвуковой части − сопла. 

Также, важно помнить, что статическое давление в критическом сечении p_кр и полное эффективное давление на входе в сужение камеры p_о связаны соотношением:

где n1 − показатель адиабаты (изоэнтропы) продуктов сгорания

При всем многообразии кислородно-керосиновых двигателей, отношение максимума расходонапряженности G_max и полного эффективного давления в камере (на входе в сужение, с учетом потерь полного давления в скоростной камере) p_о у них у всех совпадает с точностью до долей процента!

И только F-1 резко выделяется из общего ряда (в таблице расход топлива указан в кг/с, диаметры даны в миллиметрах, давление в тех. атмосферах):

^* Отклонение от РД-107 дано в процентах

О чем это говорит? Это говорит о том, что плотность вещества, расходуемого через минимальное сечение камеры F-1, больше, чем у обычных газообразных продуктов сгорания для топлива данного вида. В переводе на простой язык − это свидетельствует о наличии большого количества твердой фазы (сажи) в продуктах сгорания!

Сажа не является газом и не занимает объем, но она дает вес, поэтому газовый поток с включением сажи будет иметь большую плотность, чем газообразные продукты сгорания номинального состава топлива при том же давлении и температуре.

Дело за малым − нужно рассчитать количество сажи таким образом, чтобы композитный поток газ−сажа обеспечил нам искомые G_max = 4070 кг/с·м² при полном давлении на входе в сужение камеры p_о = 69,0 кгс/см².

Предварительные оценки показывают, что количество сажи − не менее 3,4% от всей массы продуктов сгорания, или в абсолютных величинах:

(для номинального F-1) Расход сажи ч/з камеру ≈ 86кг/с

Теперь становится понятным, почему пламя из сопла F-1 было окутано черной пеленой дыма и копоти!

Еще бы, ведь композитный поток газ−сажа состоял из 2440кг/с газообразных продуктов сгорания и 86кг/с твердой сажи.

Если добавить сюда сажу из газогенератора турбонасосного агрегата (массовая доля сажи > 36% от расхода топлива ч/з ГГ ТНА ~ 78кг/с), то тогда на выходе из сопла:

(для номинального F-1) Поток сажи на срезе сопла свыше 114кг/с

Поскольку сажа с точки зрения сопла Лаваля как теплового двигателя − это балласт, то каждый процент сажи в общей массе отнимает, во-первых, такую же долю теплоты химической реакции горения, которая делиться в равной мере и на газ, и на сажу, пропорционально массе (разницей теплоемкостей можно пренебречь), и, во-вторых, это механический балласт, который ускоряется газом в сопле, отнимая на себя долю кинетической энергии, которая могла бы быть передана газу при отсутствии сажи.

В-третьих, сажа (балласт) отнимает энергию у ВЧ колебаний газа в камере и тем самым способствует их гашению − это главная причина, по которой продукты сгорания в камере F-1 содержат такое большое, необоснованное с точки зрения химии, количество твердой фазы при достаточном количестве окислителя.

В остальном, расчет термодинамических параметров для F-1 строился аналогично тепловому расчету двигателя H-1 (Приложение №1)

Были получены результаты для псевдо-стационарного режима, без учета на ограничений на перегрев керосина выше температуры коксования.

Результаты расчета F-1 до сечения S = 10 при условии подачи 70% керосина на охлаждение представлены в графическом виде (p_о = 69ат):

Результаты расчета

Поскольку камера сгорания ЖРД F-1 представляет собой почти прямую трубу с небольшим сужением до критического сечения (т.е. почти полутепловое сопло), то тепловые потоки вдоль всей камеры сгорания примерно одинаковы и лежат в диапазоне 10,5...11,0[МВт/м²]

Максимальный тепловой поток составил Q ≈ 11 [МВт/м²]